Фуриеова трансформација. Брза Фуриеова трансформација. Дискретна Фуриеова трансформација

Фуриеова трансформација - трансформација, асоцирајќи на одредена функција на една реална променлива. Оваа операција се врши во секое време гледаме различни звуци. Уво произведува автоматски "пресметка", кои ги исполнуваат нашата свест може само по испитувањето на делот на виша математика. слух орган во човечкото трансформација конструкти, во кој звукот (конвенционални vibrational движење на честичките во еластична медиум, кои пропагираат во форма на бран во цврста, течна или гасовита медиум) се предвидени во голем број на последователни вредности на нивото на звукот на тонот на различни висини. По ова, во мозокот се претвора во информации во сите познати звук.

Видео: Брза Фуриеова трансформација (FFT / FFT) во осцилоскоп: Мит или реалност?

Математичка Фуриеова трансформација

Конверзија на звучните бранови или други вибрации процеси (од светлината емисии и океанот плимата и да ѕвездени или соларни циклуси), може да се врши и со помош на математички методи. Така, со користење на овие техники, функциите може да се прошири со воведување на vibrational процеси во собата на синусоидална компоненти, односно брановидна криви кои одат од минимум до максимум, а потоа повторно на минимум, како морски бран. Фуриеова трансформација - трансформација функција која ја опишува фаза или амплитудата на секоја sinusoid одговара на одредена фреквенција. Фаза е почетна точка на кривата, и амплитудата - од неговата висина.

Фуриеова трансформација (примери се прикажани во фотографија) е многу моќна алатка, која се користи во различни области на науката. Во некои случаи, тоа се користи како решение прилично комплексна равенки кои го опишуваат динамични процеси се случуваат под дејство на светлина, топлина или електрична енергија. Во други случаи, тоа ви овозможува да дефинирате редовно компоненти во сложени бранови, поради тоа може да биде точно да се толкува на различни експериментални набљудувања во хемијата, медицината и астрономијата.

историски информации

Првиот човек да се применува овој метод беше францускиот математичар Жан Баптист Фурие. Конверзија, потоа го носи неговото име, беше првично се користи за да се опише механизам топлина спроводливост. Фурие но целиот свој живот се занимава со проучување на својствата на топлината. Тој го направи огромен придонес во математичката теорија на определување на корените на алгебарски равенки. Фурие бил професор на анализа на Ecole Polytechnique, секретар на Институтот за Египтологија, беше царски услуга, која предизвика возбуда во времето на изградбата на патот во Торино (под негово раководство е исцедена од повеќе од 80 илјади квадратни километри на маларијата мочуришта). Сепак, сето ова активизам не запре научник ангажирани математичката анализа. Во 1802 година тој беше изведен равенка која го опишува размножување на топлина во цврсти материи. Во 1807 година, научниците откриле метод за решавање на оваа равенка, која стана позната како "Фуриеова трансформација".

анализа на топлинска спроводливост

Истражувачите користеле математички метод за да се опише механизам топлина спроводливост. А удобен пример, назначена со тоа, без тешкотии во пресметка е ширење на топлинска енергија од страна на железо прстен, еден дел се потопува во оган. За извршување на експерименти Фурие црвена жешка дел од прстенот и го закопа во фин песок. После тоа, мерење на температурата врши на спротивната дел од него. Првично, дистрибуција на топлина е неправилна: кој дел од прстенот - ладно, и други - топла, меѓу зоните може да се набљудуваат остар температурен градиент. Сепак, за време на дистрибуција на топлина низ површината на метал, тоа станува се повеќе униформа. Значи, наскоро, овој процес е во форма на синус бран. Прво графикон постепено се зголемува, а исто така се намалува непречено, прецизно законите на варијација на косинус или синусна функција. Бран постепено се изедначени и како резултат на температурата станува еднакви на целата површина на прстенот.

Авторот на овој метод претпоставува дека првичната распределба е сосема неправилни може да се распаднат во голем број на основни синусни бранови. Секој од нив ќе ја има својата фаза (прва позиција) и максималната температура. Така секоја таква компонента промени од минимум до максимум и назад да се заврши револуцијата околу пати прстенот број. Компонента која има рок кој беше наречен основните хармонично, а вредноста со две или повеќе временски периоди - на вториот и така натаму. На пример, математичка функција која го опишува максимална температура, фаза или позиција наречена Фуриеова трансформација на дистрибуција функција. Научник донесе една компонента која е тешко да се математички опис, за лесно-за-користење алатки - редовите за синус и косинус, во износ од давање на првичната распределба.

Суштината на анализа

Примената на оваа анализа за претворање на дистрибуција на топлинска енергија на цврст објект, со прстенест облик, математичар оцени дека зголемување на периоди на синусоидална компоненти дојде до нејзино брзо амортизација. Ова е јасно да се види на главниот и вториот хармоници. Конечниот температурата достигнува двапати максималните и минималните вредности во еден премин, а во првиот - само еднаш. Излегува дека на растојание од топлина во вториот хармоник е половина од јадрото. Покрај тоа, на градиент на второто полувреме, исто така, ќе биде побрз од првиот. Затоа, бидејќи поинтензивна топлинска флукс минува вдовица минимално растојание, тогаш ова ќе бидат задушени хармонично четири пати побрзо од главните, како функција на времето. Во следните процесот ќе биде дури и побрзо. Математичар верува дека овој метод овозможува да се пресмета процесот на првичната распределба на температурата со текот на времето.

Видео: Проблем анализатори и Фурие (без математика и svistoperdelki)

повик современици

Фуриеова трансформација алгоритам стана предизвик на теоретските основи на математиката во тоа време. Во почетокот на XIX век, повеќето истакнати научници, вклучувајќи Лагранж, Лаплас, Поасон, Legendre и Biot не го прифати неговото тврдење дека температурата на првичната распределба е распаднат во компоненти во форма на основните бран и повисока фреквенција. Сепак, Академијата на науките не може да се игнорира резултатите добиени математичар, и му ја додели наградата за теоријата на топлинска спроводливост на законите, како и спроведување на споредба со своите физички експерименти. Во пристапот на Фурие, главната забелешка е фактот дека со прекини функција е претставена со збир на неколку синусни функции, кои се континуирано. По сите, тие се опише пука директно и криви линии. Современа научник никогаш не се сретнал таква ситуација, кога прекини функциите опишани од страна на комбинација на континуирана, како квадратна, линеарна, синус или изложувач. Во случај математичар беше во право во неговите тврдења, збирот на бесконечна серија на тригонометриски функции треба да бидат ограничени на точната брзина. А такво барање чинеше апсурдно. Сепак, и покрај сомневањата на некои истражувачи (на пример, Клод Navier, Софи Жермен) го прошири обемот на истражување и ги изведе од анализата на дистрибуција на топлинска енергија. А математиката, пак, продолжуваат да се на прашањето дали збир од неколку синусни функции се сведува на точна претстава од прскање.

200-годишната историја

Оваа теорија се разви повеќе од два века, денес тоа е конечно формиран. Со помош на просторни и временски функции се скршени во синусоидална компоненти кои имаат фреквенција, фаза и амплитуда. Оваа пренамена се добива со две различни математички методи. Првата од нив не се користи во случај кога изворот е континуиран функција, и вториот - во случај каде што е претставено со множество на дискретни индивидуални промени. Ако изразот е добиен од вредности, кои се дефинирани во дискретни интервали, може да се подели во неколку дискретни синусоидална фреквенции изрази - од најниска и потоа двојно, тројно, и така натаму погоре основните. Оваа сума се нарекува серија Фурие. Ако почетниот израз поставува вредноста на секој реален број тоа може да се разложи во повеќе синусоидална сите можни фреквенции. Тоа се нарекува Фурие составен, а одлуката подразбира трансформација на интегрален функција. Без разлика на методот за добивање на трансформација, за секоја фреквенција треба да укажуваат на два броја: амплитуда и фреквенција. Овие вредности се изразени како еден комплексен број. Изразување комплексни променливи теорија, заедно со трансформација на Фурие да врши пресметки дозволено дизајнот на разни електрични кола, анализа на механички вибрации, студијата на механизам бран ширење и друго.

Фуриеова трансформација денес

Денес, изучување на овој процес во основа се сведува на наоѓање на ефективни методи за преминот од функција за да ја да се вратите на умот. Ова решение се нарекува директна и инверзна Фуриеова трансформација. Што значи тоа? Со цел да се утврди интегрален и направи директна Фуриеова трансформација, можете да го користите математички методи, но може да се аналитички. И покрај фактот дека кога тие се користат во практиката постојат некои тешкотии, повеќето интеграли веќе се пронајдени и влезе во математичката прирачници. Со помош на нумеричките методи може да се пресмета изрази, во форма на која е базирана на експериментални податоци, функција чии интеграли во табелите се водат за исчезнати, а тие се тешко да се замисли во аналитичка форма.

Видео: Предавање 8: Дискретни трансформација на Фурие

Пред доаѓањето на компјутерски инженеринг пресметки таквите трансформации се многу досадни, тие имаат потреба рачно извршување на голем број на аритметички операции кои зависат од бројот на поени кои ги опише функција на бранот. Да го олеснат решавањето денес, постојат посебни програми кои ќе ви овозможи воведување на нови аналитички методи. Така, во 1965 година, Џејмс Кули и Џон Tukey создаде софтвер кој стана познат како "Брза трансформација на Фурие". Тоа заштедува време на пресметката со намалување на бројот на мултиплицирање во анализата на кривата. "Брза трансформација на Фурие" Методот се заснова на поделба на кривата во голем број на унифицирани вредности примерок. Соодветно на тоа, бројот на множења е намалена за половина во исто намалување на бројот на поени.

Примена на Фуриеова трансформација

Овој процес се користи во различни области на науката: во теорија на броеви физика, обработка на сигналот, комбинаторика, теоријата на веројатност, криптографијата, статистика, океанографијата, оптика, акустика, и други геометрии. Богати можности за неговата употреба се врз основа на голем број на корисни опции, кои се нарекуваат "Фуриеова трансформација својства". Дозволете ни да ги испита.

Видео: Предавање 11: трансформација на Фурие

1. функција на конверзија е оператор на праволиниски и соодветните нормализација е унитарна. Овој имот е познат како теорема Parseval, или во општ случај, теоремата Plansherelja или Pontrjagin дуализам.

2. конверзија е реверзибилна. Покрај тоа, спротивен резултат е значително слична форма како и во директна адресирање.

3. синусоидална основни изрази се свои диференцирани функции. Ова значи дека како презентација менува линеарни равенки со постојана фактор во вообичаениот алгебарски.

4. Според "конволуција" теорема, процесот го прави сложена операција во основното множење.

Видео: Што е серија Фурие и она што го јаде - bezbotvy

5. Дискретна трансформација на Фурие може брзо да се дизајнираат на компјутер со помош на "брзо" метод.

Варијации на Фуриеова трансформација

1. Најчесто терминот се користи за да се однесуваат на континуирана трансформација, обезбедување на било quadratically интегралност изразување како збир на комплексни експоненцијална израз со специфични аголна фреквенции и амплитуди. Овој вид има неколку различни форми, кои можат да бидат различни коефициенти. Континуирано метод вклучува маса за конверзија, која може да се најде во математичката прирачници. Општиот случај е фракционо конверзија, при што овој процес може да се зголеми до посакуваната вистинска моќ.

2. континуирано метод е генерализација на претходните техники серија Фурие, специфични за било периодични функции или изрази, кои постојат во ограничен простор и ќе ги претставуваат како серија на синусите.

3. Дискретна Фуриеова трансформација. Овој метод се користи во компјутерите за научни пресметки и дигитална обработка на сигналот. За извршување на овој вид на пресметка се бара да имаат функција на утврдување на дискретен збир на поединечни точки, периодична или ограничено подрачје наместо континуирано интеграли Фурие. конверзија на сигналот во овој случај е претставен како збир на синусите. Употреба на методот за "брзо" им овозможува на употреба на дигитални решенија за сите практични цели.

4. прозорец Фуриеова трансформација е генерализирана поглед на класичниот метод. За разлика од стандардните решенија кога се користи спектар на сигналот, која е донесена во целиот спектар на постоењето на оваа променлива е од особен интерес тука е само локална дистрибуција на фреквенцијата, додека одржување на променливата (време).

5. На две-димензионални Фуриеова трансформација. Овој метод се користи за да работат со две-димензионални низи на податоци. Во таков случај, конверзијата се врши во една насока, а потоа - во другата.

заклучок

Денес, методот на Фурие е цврсто вградени во различни области на науката. На пример, во 1962 година таа се отвори во форма на двојната спирала на ДНК со користење на Фуриеова анализа во врска со X-зраците врз прашок. Последни кристали фокусирани на ДНК влакна, што резултира во сликата која се добива со дифракција, снимен на филм. Оваа слика дал информација за вредноста на амплитудата со користење на Фуриеова трансформација на оваа кристална структура. податоци фаза добиени со споредба на ДНК дифракција картички со карти, кои се добиени во анализа на слични хемиски структури. Како резултат на тоа, биолози врати кристалната структура - оригиналната функција.

Фуриеова трансформација игра огромна улога во истражувањето на вселената, физика на полупроводнички материјали и плазма, микробранова акустика, океанографијата, радарот, сеизмологијата и лекарски прегледи.