На неопределен интеграл. Пресметка на неопределени интеграли

Една од основните делови на математичката анализа е составен анализа. Таа опфаќа многу широко поле на објекти, каде што првиот - тоа е неопределен интеграл. Позиција тоа е како клуч, кој се уште е во средно училиште открива зголемување на бројот на перспективи и можности, која ја опишува виша математика.

изглед

На прв поглед, се чини сосема составен до современи, актуелни, но во пракса се покажа дека тој се врати во 1800 година пред нашата ера. Дом на официјално се смета Египет не се постигне ни порано докази за своето постоење. Тоа се должи на недостаток на информации, сите, додека позициониран едноставно како феномен. Тој уште еднаш се потврдува ниво на научен развој на народите од тие времиња. Конечно, делата на античките грчки математичари, кои датираат од 4 век пред нашата ера се пронајдени. Тие ја опишуваат користи метод каде што неопределен интеграл, суштината на која требаше да се најде на звукот или област на криволиниски облик (три-димензионални и две-димензионални авион, соодветно). Пресметката е врз основа на принципот на поделба на првобитната фигура во бесконечно компоненти, под услов количината (област) е веќе познато за нив. Со текот на времето, методот се зголеми, Архимед го користи да се најде во областа на парабола. Слични пресметки во исто време да се спроведе вежби во античка Кина, каде што тие се целосно независни од грчките колеги науката.

развој

Следниот чекор напред во п.н.е. XI век стана работата на арапскиот научник"вагон" Абу Али Ал-Басри, кои се наметнува на границите на веќе познато, беа добиени од интегрална формула за пресметување на износите на износите и степени од прво до четврто, да аплицираат за овој познат за нас индукција метод.
Умови од денес се восхитуваат од страна на древните Египќани ја создал прекрасни споменици без специјални алатки, освен оној на нивните раце, но не е моќ луди научници на не помалку време чудо? Во споредба со сегашните времиња на нивниот живот се чини дека речиси примитивни, но одлуката на неопределени интеграли изведени насекаде и се користи во пракса за понатамошен развој.

Следниот чекор се одржа во XVI век, кога италијанскиот математичар Cavalieri донесе неделива метод, кој се крена Пјер де Ферма. Овие две личност ги поставил основите на модерната составен анализа, кој е познат во моментот. Тие врзани концептите на диференцијација и интеграција, кои претходно се гледа како автономни единици. Од страна и големи, математиката на тоа време беше фрагментирана честички постојат наоди од страна на самите себе, со ограничена употреба. Начин да се обединат и да се најде заеднички јазик е единствениот вистински во моментот, благодарение на него, модерен математичката анализа Имав можност да расте и да се развива.

Со текот на времето се менува сè и интегрален симбол, како и. Од страна и големи, тој беше прогласен за научниците кои на свој начин, на пример, Њутн користи иконата на плоштадот, кој стави интегралност функција, или едноставно да се стави заедно. Овој диспаритет траеше се до XVII век, кога обележје за целата теорија на математичката анализа научник Готфрид Лајбниц воведе таков карактер познат за нас. издолжена "S" Тоа е, всушност, врз основа на ова писмо Латиница, Тоа означува збир како примитивци. Името на интегрален добиени благодарение на Јакоб Бернули, по 15 години.

Видео: Sarbasova НД Основни методи за пресметување на неопределен интеграл

Формалната дефиниција

На неопределен интеграл зависи од дефиницијата на примитивен, па затоа сметаат дека во на прво место.

Antiderivative - е инверзна функција на изводот, во пракса тоа се нарекува примитивни. Со други зборови: примитивните функција на d - е функција D, што дериватот на која е v <=> V` = v. Поиск первообразной есть вычисление неопределенного интеграла, а сам этот процесс именуется интегрированием.

На пример:

На функција S (y) = y³, и неговите примитивни S (y) = (y⁴/ 4).

Множеството од сите примитивците на функцијата - ова е неопределен интеграл, тој е назначен како што следува: &INT-v (x) dx.

Се должи на фактот дека V (x) - Ова се некои од оригиналните примитивни функции, има една изрека која вели: &INT-v (x) dx = V (x) + C, каде што C - константа. Под произволни постојано се однесува на било постојано, бидејќи нејзините деривати е нула.

својства

На својства поседува од страна на неопределен интеграл, во суштина врз основа на дефиницијата и својства на деривати.
Размислете за клучни точки:

• интегрален на дериватот сам по себе е примитивен примитивни плус произволни постојана C <=> &int-V`(x)dx = V(x) + C;
• Дериват на интеграл на функцијата има оригиналната функција <=> (&int-v(x)dx)` = v(x);
• постојано е извадена од интегрален <=> &int-kv(x)dx = k&int-v(x)dx, где k - произвольно;
• составен, која е донесена од збирот е, идентично еднаква на збирот на интеграли <=> &int-(v(y) + w(y))dy = &int-v(y)dy +&int-w(y)dy.

Во последните две својства може да се заклучи дека на неопределен интеграл е линеарна. Поради ова, имаме: &int- (kV (y) dy +&int- LW (y)) dy = k&INT-v (y) dy + l&INT-W (y) dy.

За да видите примери на одредување решенија неопределени интеграли.

Мора да се најде интегрален &int- (3sinx + 4cosx) dx:

• &int- (3sinx + 4cosx) dx = &INT-3sinxdx + &INT-4cosxdx = 3&INT-sinxdx + 4&INT-cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Од пример можеме да заклучиме дека вие не знаете како да се реши неопределени интеграли? Само најдете сите примитивците! Но, од пребарувањето за принципите дискутира подолу.

Видео: неопределен интеграл - 5

Методи и примери

Со цел да се реши составен, можете да се впуштат во следниве методи:

Видео: Видео лекција по математика "Пресметка на интеграли - 1"

• подготвени да ги искористат предностите на маса;
• интегрирање од страна на делови;
• интегрирани со замена на променлива;
• сумирање под знакот на диференцијал.

маси

Најмногу едноставен и пријатен начин. Во моментов, математичка анализа може да се пофали доста обемна маси, кои напишани од основната формула на неопределени интеграли. Со други зборови, постојат шаблони добиени до вас и може да се земе само предност од нив. Тука е листа на главни позиции маса, која може да се прикажат речиси секој случај, има решение:

Видео: Математика без xy% !. Интеграли, дел 1. примитивни. Диференцијација и интеграција.

• &INT-0dy = C, каде што C - постојана;
• &INT-dy = y + C, каде што C - постојана;
• &INT-yⁿdy = (y^{n + 1}) / (N + 1) + C, каде што C - постојана, и n - број различен од единство;
• &int- (1 / y) dy = ln | Y | + C, каде што C - постојана;
• &INT-e^ydy = e^y + Ц, каде што C - постојана;
• &INT-k^ydy = (k^y/ Ln k) + C, каде што C - постојана;
• &INT-cosydy = siny + C, каде што C - постојана;
• &INT-sinydy = -cosy + C, каде што C - постојана;
• &INT-dy / cos²y = tgy + C, каде што C - постојана;
• &int-dy / гревот²y = -ctgy + C, каде што C - постојана;
• &INT-dy / (1 + y²) = Arctgy + C, каде што C - постојана;
• &INT-chydy = срамежлив + C, каде што C - постојана;
• &INT-shydy = CHY + C, каде што C - константа.

Доколку е потребно, да се направи неколку чекори водат integrand во приказот табеларно и да уживаат во победа. На пример: &INT-cos (5x -2) dx = 1/5&INT-cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Според одлуката, јасно е дека на пример маса integrand нема мултипликатор 5. Ние го додадете во паралела со овој множење со 1/5 на општ израз не се промени.

Интеграција со делови

Размислете две функции - z (y) и x (y). Тие мора да бидат постојано диферентабилно на својот домен. Во една диференцијација својства имаме: d (XZ) = xdz + zdx. Интегрирањето на двете страни, се добива: &INT-d (XZ) = &int- (xdz + zdx) => ZX = &INT-zdx + &INT-xdz.

Препишување на равенката резултат, ќе го добиеме формула, која го опишува начинот на интеграција со дела: &INT-zdx = ZX - &INT-xdz.

Зошто е тоа потребно? Фактот дека некои од примерите што е можно за да се поедностави, да речеме, да се намали &INT-zdx да &INT-xdz, ако вториот е блиску до форма на табела. Исто така, оваа формула може да се користи повеќе од еднаш, за оптимални резултати.

Како да се реши неопределени интеграли на овој начин:

• потребно да се пресмета &int- (s + 1) e^2sДС

&int- (x + 1) e^2sDS = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xDS} = ((S + 1) e^2s) / 2-1 / 2&INT-e^2sdx = ((S + 1) e^2s) / 2-e^2s/ 4 + C-

• потребно да се пресмета &INT-lnsds

&INT-lnsds = {z = lns, dz = DS / S, Y = S, dy = DS} = slns - &INT-S x DS / s = slns - &INT-DS = slns -S + C = S (lns-1) + C.

Замена на променлива

Овој принцип на решавање на неопределени интеграли не помалку отколку во побарувачката на претходните две, иако комплицирано. Методот е како што следува: Да V (x) - интегрален на некои функција v (x). Во случај тоа само по себе составен во Пример slozhnosochinenny збор, најверојатно, да се мешаат и да си одат по погрешен пат решенија. За да се избегне оваа практика промена од променливата x до Ш, во која општ израз визуелно поедноставен, додека одржување на z зависно од x.

Тоа изгледа математички јазик како што следува: &INT-v (x) dx = &INT-v (y (z)) y` (z) dz = V (z) = V (y^-1(X)), каде што x = y (Z) - супституција. И, се разбира, на инверзна функција z = y^-1(X) целосно го опишува односот и за односот помеѓу променливи. Важна забелешка - диференцијалната dx мора да се замени со нов диференцијал dz, бидејќи промената на променлива во неопределен интеграл вклучува замена на тоа насекаде, не само во integrand.

На пример:

• треба да се најде &int- (s + 1) / (s² + 2S - 5) DS

Ние се применуваат за измена z = (s + 1) / (s²+2S-5). Потоа dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) DS <=> (s+1)ds=dz/2. В итоге получаем следующее выражение, которое очень легко вычислить:

&int- (s + 1) / (s²+2S-5) DS =&int- (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s²+2S-5 | + C;

• ќе мора да најде составен &INT-2^sд^sdx

Видео: Ние се најде одреден и неопределен интеграл користење на Mathcad

За да се реши преработи во следната форма:

&INT-2^sд^sДС = &int- (2e)^sДС.

Го означуваме со a = 2д (замена на аргументот овој чекор не е, се уште е), ние им дадеме на нашите навидум комплицирана составен дел на основната форма табеларен:

&int- (2e)^sДС = &INT-a^sDS = a^s / LNA + C = (2e)^s / Ln (2e) + C = 2^sд^s / Ln (2 + lne) + C = 2^sд^s / (Ln2 + 1) + C.

Сумирајќи диференцијален знак

Од страна и големи, овој метод на неопределени интеграли - брат близнак на принципот на промена на променлива, но постојат разлики во процесот на регистрација. Дозволете ни да се разгледа во повеќе детали.

ако &INT-v (x) dx = V (x) + C и y = z (x), а потоа &INT-v (y) dy = V (y) + C.

Во исто време, ние не смееме да заборавиме дека тривијалниот составен трансформации, меѓу кои:

• dx = d (x + а), и каде што - секоја постојана;
• dx = (1 / а) d (ax + b), каде што - постојана повторно, но не е нула;
• xdx = 1 / 2d (x² + б);
• sinxdx = -D (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ако ги земеме предвид општиот случај, каде што се пресмета неопределен интеграл, примери можат да се сведат под општа формула w` (x) dx = DW (x).

примери:

• треба да се најде &int- (2S + 3)²DS, DS = 1 / 2d (2S + 3)

&int- (2S + 3)²DS = 1/2&int- (2S + 3)²d (2S + 3) = (1/2) x ((2S + 3)²) / 3 + C = (1/6) x (2S + 3)² + C;

&INT-tgsds = &int-гревови / cossds = &INT-d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.

онлајн помош

Во некои случаи, грешка на која може да стане или мрзеливост или итна потреба, можете да го користите онлајн инструкциите, или подобро кажано, да се користи калкулатор неопределени интеграли. И покрај очигледната комплексност и контроверзната природа на интеграли, одлуката е предмет на нивните специфични алгоритам, кој е базиран на принципот "ако не ... тогаш ...".

Се разбира, особено сложени примери на такви калкулатор нема да го совладате, како што постојат случаи во кои одлуката треба да се најде вештачки, "насилно" воведување на одредени елементи во процесот, бидејќи резултатите се очигледни начини да се постигне. И покрај контроверзната природа на оваа изјава, тоа е вистина, како математиката, во принцип, апстрактна наука, како и својата примарна цел разгледува потребата за зајакнување на границите. Навистина, за непречено работат во теориите е многу тешко да се движат нагоре и се развива, па не се претпостави дека примерите на решавање на неопределени интеграли, кој ни даде - ова е на висина на можности. Но назад на технички страна на нештата. Барем да се провери пресметките, можете да го користите на служба во која е напишана за нас. Ако постои потреба за автоматско пресметување на сложени изрази, тогаш тие не треба да се прибегне кон посериозен софтвер. Треба да се обрне внимание првенствено врз животната средина MatLab.

апликација

Одлуката на неопределени интеграли на прв поглед се чини дека целосно одвоен од реалноста, бидејќи тоа е тешко да се види очигледно употреба на авионот. Всушност, директно ги користите насекаде, каде што не може, но тие се неопходен средно елемент во процесот на повлекување на решенија кои се користат во пракса. Така, процесот на интеграција на грбот диференцијација, со што активно учествува во процесот на решавање на равенки.
За возврат, овие равенки имаат директно влијание врз одлуката на механички проблеми, траекторија пресметка и коефициент на топлинска спроводливост - на кратко, сè што го сочинува сегашноста и обликувањето на иднината. Неопределен интеграл, примери од кои ги разгледавме погоре, тривијални само на прв поглед, како основа за извршување на повеќе и повеќе нови откритија.